Poradnik klienta usług finansowych

Piotr Śliwka

Czy rata mojego kredytu nie jest za wysoka

podstawy metamatyki finansowej

Warszawa 2013 – wydanie papierowe
Warszawa 2014 – wydanie elektroniczne

Wstęp

Dla wielu klientów usług finansowych kredyt i pożyczka to w uproszczeniu to samo. Jednak w kontekście prawno-finansowym różnice są dość istotne. Pożyczki udziela właściciel pieniędzy, kredytu natomiast udziela instytucja, która nie musi być właścicielem pieniędzy. Ponadto, pożyczkobiorca uzyskuje dostęp do pieniędzy lub przedmiotów materialnych i może dysponować nimi w zasadzie w dowolny sposób, w przeciwieństwie do kredytobiorcy, w przypadku którego instytucja kredytująca udostępnia środki płatnicze na konkretny cel i najczęściej przelewa odpowiednią kwotę bezpośrednio na konto podmiotu oferującego kredytowany produkt lub usługę. Co więcej: w kontekście prawnym pożyczka najczęściej dotyka obszaru prawa cywilnego (zazwyczaj udzielana przez osoby prywatne), kredyt natomiast dotyczy prawa bankowego (udzielany przez instytucje finansowe). Mimo tych różnic metody arytmetyki finansowej stosowane do obsługi zadłużenia zarówno w przypadku pożyczek, jak i kredytów pokrywają się. Celem niniejszego opracowania jest zaznajomienie czytelnika z pojęciami oraz metodami arytmetyki finansowej, które z jednej strony pozwalają samodzielnie ocenić dostępne na rynku oferty kredytowe pod kątem ich atrakcyjności z punktu widzenia potencjalnego kredytobiorcy, z drugiej natomiast zweryfikować ich wiarygodność na podstawie informacji dostępnych przed podpisaniem formalnej umowy o kredyt. W dalszej części tekstu, o ile nie będzie prowadziło to do nieporozumień, pojęcie pożyczka oraz kredyt zostaną utożsamione i zastąpione słowem kredyt. Ponadto dla uproszczenia rozważań – poza przykładem związanym z wyznaczeniem rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania – w broszurze pominięto kwestię opłat związanych z obsługą kredytu, choć w praktyce banki i inne instytucje finansowe bardzo często pobierają od klientów dodatkowe opłaty i prowizje (np. opłatę przygotowawczą za rozpatrzenie wniosku o kredyt, opłatę za udzielenie kredytu, opłatę za dodatkowe czynności związane z obsługą kredytu itd.). Tego typu „dodatki” w sposób istotny zwiększają koszt kredytu i zazwyczaj są wliczane w wysokość raty, bądź stanowią dodatkowe płatności niezależne od wysokości raty. Zatem przed podpisaniem umowy należy zwrócić szczególną uwagę na wszystkie poboczne nakłady pieniężne zwiększające koszt kredytu.

Podstawowe pojęcia charakteryzujące zmianę pieniądza w czasie

Pożyczanie kapitału i czerpanie z tego dodatkowych korzyści jest tak stare, jak stare jest istnienie handlu.

Na przestrzeni dziejów i w zależności od kręgu kulturowego różnie podchodzono do kwestii normujących wysokość oprocentowania. W Polsce międzywojennej np. oprocentowanie wypożyczonego kapitału nie mogło przekraczać 10%, gdyż w przeciwnym wypadku traktowane było jako lichwa. Podobne nastawienie do wysokości oprocentowania można spotkać w innych kulturach. Jednak panujące od pewnego czasu przekonanie, że „generatorem pieniędzy jest procent” wydaje się być obecnie powszechnie akceptowalne i usprawiedliwiające osiąganie z tego tytułu korzyści. W operacjach finansowych stopę procentową najczęściej traktuje się jako miarę zysku z posiadanego kapitału, który to kapitał jest udostępniony i używany przez innych. W teorii ekonomii stopę procentową wiąże się z wynagrodzeniem za powstrzymywanie się od konsumpcji bieżącej. Jest to oparte na założeniu, że gospodarstwa domowe preferują konsumpcję bieżącą, a zatem aby skłonne były zrezygnować z niej dziś, trzeba im tę powściągliwość wynagrodzić w postaci dodatkowej konsumpcji w przyszłości. W przypadku kredytów za stopę procentową przyjmuje się cenę, jaką ubiegający się o kredyt (kredytobiorca) musi zapłacić udzielającemu kredytu (kredytodawcy) za przywilej korzystania z pieniędzy udostępnionych przez kredytodawcę. Cena podana w jednostkach kapitału (wartość których może być wyrażona np. w złotówkach) jest wynagrodzeniem dla kredytodawcy za to, że w tym czasie nie dysponuje swoim kapitałem (pieniędzmi). W zależności od charakteru, kryterium i kontekstu, w jakim pojęcie stopy procentowej jest używane, wyróżnia się jej różne rodzaje. Do najczęściej występujących w odniesieniu do kredytów i pożyczek należą: roczna stopa procentowa (wysokość odsetek naliczanych od pożyczonego kapitału w okresie jednego roku), nominalna stopa procentowa (nie uwzględnia inflacji), realna stopa procentowa (nominalna stopa procentowa pomniejszona o inflację), efektywna stopa procentowa (uwzględnia odsetki naliczane w trakcie trwania inwestycji w ciągu roku, a w przypadku braku naliczania odsetek wewnątrz ustalonego okresu, np. roku, efektywna i nominalna stopa procentowa pokrywają się), rzeczywista stopa procentowa (uwzględnia dodatkowe opłaty związane z kredytem, np. prowizje, ubezpieczenia, marże,…, powszechnie występująca jako RRSO, czyli rzeczywista roczna stopa oprocentowania), stała (niezmienna w trakcie trwania umowy kredytowej) oraz zmienna stopa procentowa (kredytobiorca zgadza się na zmianę stopy w trakcie trwania umowy kredytowej). W dalszej części tekstu niektóre z nich zostaną szerzej wyjaśnione.

„Wzrost ryzyka najczęściej powoduje wzrost stopy procentowej i na odwrót: mniejsze ryzyko, to mniejsza stopa procentowa.”

Jednym z głównych czynników wpływających na wysokość stopy procentowej jest ryzyko inwestycji, w stosunku do której ma ona zastosowanie. Wzrost ryzyka najczęściej powoduje wzrost stopy procentowej i na odwrót: mniejsze ryzyko, to mniejsza stopa procentowa.

Ważnym czynnikiem wpływającym na wysokość stopy procentowej jest także tzw. płynność. Najbardziej płynna jest gotówka (pożyczona np. od znajomych bądź w banku), zdecydowanie mniej płynna jest np. nieruchomość (dom, mieszkanie, itp.), w przypadku sprzedaży której czas od podjęcia decyzji o sprzedaży do momentu sprzedaży a następnie uzyskania pieniędzy jest dużo dłuższy, niż wspomniana wcześniej pożyczka pieniężna od znajomych. Generalnie, im płynniejsze są aktywa, tym niższa stopa procentowa zgodnie z ogólną zasadą finansów: mniejsza płynność wymaga wyższego wynagrodzenia.

„Im płynniejsze są aktywa, tym niższa stopa procentowa zgodnie z ogólną zasadą finansów: mniejsza płynność wymaga wyższego wynagrodzenia.”

W powszechnym użyciu krąży stwierdzenie, iż „gotówka uzyskana dziś jest więcej warta niż gotówka uzyskana jutro”. Ewentualna parafraza mogłaby wyglądać następująco: ta sama kwota pieniędzy otrzymana dziś oraz za jakiś czas (np. za rok) nie posiada tej samej wartości. Co najmniej dwie przyczyny uzasadniają powyższe stwierdzenie: występująca w procesach gospodarczych inflacja (zmniejszająca się wartość pieniądza w przyszłych okresach) oraz możliwość zainwestowania dzisiejszej gotówki z zyskiem odebranym np. za rok.

W tym drugim przypadku możliwość inwestowania gotówki w różnych momentach czasowych na różne długości okresów powoduje, iż wartość gotówki zmienia się w czasie. Do sprawdzenia, z jaką wartością gotówki będziemy mieli do czynienia za pewien okres albo ile dziś wynosi wartość gotówki, którą w przyszłości (po pewnym okresie) możemy otrzymać w znanej dziś wysokości, służą operacje: kapitalizacji odsetek i dyskontowania oraz pojęcia: wartość obecna i wartość przyszła. Wcześniej jednak niezbędne będzie wprowadzenie dwóch podstawowych zasad oprocentowania kapitału w ustalonym okresie „pracy” kapitału: zasady oprocentowania prostego oraz składanego. Na potrzeby niniejszego opracowania odsetki od kapitału będą:

oznaczały procent tego kapitału wyrażony najczęściej w jednostkach pieniężnych (w skrócie j.p. lub PLN),

naliczane po upływie tzw. okresu bazowego (lub podstawowego) oznaczającego zazwyczaj jeden rok (zmiana okresu bazowego z jednego roku na krótszy np. kwartał lub dłuższy np. okres 2-letni zostanie wyraźnie zaznaczona).

„Do sprawdzenia, z jaką wartością gotówki będziemy mieli do czynienia za pewien okres albo ile dziś wynosi wartość gotówki, którą w przyszłości (po pewnym okresie) możemy otrzymać w znanej dziś wysokości, służą operacje: kapitalizacji odsetek i dyskontowania oraz pojęcia: wartość obecna i wartość przyszła.”

Oprocentowanie proste

Według zasady oprocentowania prostego odsetki od kapitału początkowego danej inwestycji są naliczane proporcjonalnie do długości trwania tej inwestycji.

Wkładając zatem kwotę początkową w wysokości 100 PLN na trzyletnią lokatę bankową oprocentowaną 10% w skali roku, po pierwszym roku dostaniemy 100 PLN + 10% * 100 PLN =110 PLN (po pierwszym roku odsetki wyniosą 10 PLN). Po drugim roku trwania lokaty poza kwotą początkową dostaniemy odsetki ponownie w wysokości 10% * 100 PLN = 10 PLN. Po trzecim roku, podobnie jak poprzednio, otrzymamy również dodatkowe 10 PLN. Pamiętając jednak o uzyskanych odsetkach w wysokości 20 PLN z poprzednich lat, ostateczna kwota na koniec trwania trzyletniej lokaty bankowej wyniesie 130 PLN. Zatem odsetki zarobione w trakcie trwania lokaty zostają dopisane do kwoty początkowej pod koniec inwestycji.

Formalizując podany przykład z oprocentowaniem prostym przyjmujemy, że K₀ oznacza kwotę początkową, jaką chcemy zainwestować na jeden okres, r oznacza stopę procentową obowiązującą w trakcie tej inwestycji oraz K₁ oznacza kwotę, jaką otrzymamy po upłynięciu tego okresu. Wówczas wysokość kwoty (wartość kapitału) K₁ wyniesie:

K₁ = K₀ + r K₀ = K₀ (1 + r)

(1.1)

gdzie

K₀ – kwota posiadana przed rozpoczęciem inwestycji,

K₁ – kwota uzyskana po pierwszym okresie inwestycji,

r – oprocentowanie obowiązujące w trakcie trwania inwestycji.

Po dwóch okresach inwestycji o tej samej długości i przy tej samej stopie procentowej r względem kapitału początkowego K₀ uzyskamy kwotę K₂ w wysokości:

K₂ = K₁ + r K₀ = K₀(1 + r) + r K₀ = K₀ +2 r K₀ = K₀ (1+2r)

(1.2)

Zatem w przypadku inwestycji trwającej n okresów i tych samych parametrach uogólniony wzór przyjmie postać:

Kn = Kn-1 + r K₀ = … = K₀(1 +(n-1) r) + rK₀ = K₀(1 + nr) = K₀+ K₀ nr

(1.3)

gdzie

K₀ – kwota początkowa inwestycji,

Kn – kwota uzyskana po n-tym okresie inwestycji,

r – oprocentowanie obowiązujące w trakcie trwania inwestycji,

n – liczba okresów inwestycji.

We wzorze (1.3) K₀nr oznacza wartość odsetek wyrażoną w jednostkach pieniężnych zainwestowanej kwoty, jaka zostanie wypłacona właścicielowi kwoty początkowej K₀ po upływie n okresów przy stałej stopie procentowej r. Uwaga: dla wygody procent w obliczeniach numerycznych będziemy zapisywali w postaci ułamka dziesiętnego (w przykładach dotyczących stopy procentowej zazwyczaj z dokładnością do czterech cyfr po przecinku), o ile zapis ten nie będzie prowadził do nieporozumień.

Procent składany

Według zasady oprocentowania składanego odsetki od kapitału są naliczane i dodatkowo do tego kapitału doliczane na koniec każdego okresu, względem którego dane oprocentowanie obowiązuje.

Włożona zatem kwota początkowa 100 PLN na podobną, jak poprzednio, trzyletnią lokatę bankową oprocentowaną 10% w skali roku, ale przy założeniu, iż obowiązuje oprocentowanie składane, po pierwszym roku dostarczy dodatkowy zysk w wysokości 0.10 * 100 PLN = 10 PLN (po pierwszym roku wartość odsetek identyczna do uzyskanych w poprzednim przykładzie). Po drugim roku trwania lokaty dostaniemy odsetki w wysokości 0.10 * 110 PLN = 11 PLN, gdyż na początku drugiego roku inwestujemy już nie 100 PLN, lecz kwotę początkową z doliczonymi po pierwszym roku odsetkami, czyli 110 PLN. Po trzecim roku trwania lokaty otrzymujemy odsetki w wysokości 10% * 121 PLN = 12.10 PLN, co po dodaniu do wartości z poprzedniego okresu osiąga kwotę w wysokości 121+12.10 = 133.10 PLN na koniec trwania trzyletniej lokaty bankowej. Zatem odsetki zarobione w trakcie trwania lokaty dopisywane są do dotychczasowej kwoty na końcu okresu naliczania oprocentowania i uwzględniane przy oprocentowaniu w kolejnym okresie oprocentowania. W tym przypadku odsetki z zainwestowanej lokaty w wysokości 100 PLN wyniosły 33.10 PLN.

Analogicznie formalizując powyższy przykład z oprocentowaniem składanym i przyjmując, że inwestujemy kwotę K₀ na jeden okres, w trakcie którego oprocentowanie r nie zmienia się, po upłynięciu tego okresu wartość kwoty K₁ wyznaczamy z wzoru podobnego do (1.1):

K₁ = K₀ + r K₀ = K₀ (1 + r)

(1.4)

Zatem przy inwestycji z identyczną i niezmienną w tym okresie stopą procentową zastosowanie oprocentowania typu prostego lub składanego po upływie jednego okresu dostarcza identyczną wartość kwoty K₁. Różnica między zastosowanymi typami oprocentowania uwidacznia się dopiero, gdy kwotę zainwestujemy na okres krótszy (np. ½ okresu bazowego) lub dłuższy (np. dwukrotność okresu bazowego) niż okres bazowy i przypisaną jemu stopę procentową. W takiej sytuacji po dwóch okresach inwestycji o tej samej długości i przy tej samej stopie procentowej r względem kapitału początkowego K₀ uzyskamy kwotę K₂ w wysokości:

K₂ = K₁ + r K₁ = K₁(1 + r) = K₀ (1 + r) (1 + r) = K₀ (1 + r)²

(1.5)

Dla inwestycji trwającej n okresów i tych samych parametrach uogólniony wzór na wyznaczenie kwoty Kn po zakończeniu n-okresowej inwestycji na podstawie rekurencyjnej zależności przyjmie postać:

Kn = Kn-1 + r Kn-1 = Kn-1(1 + r) = Kn-2 (1 + r)(1 + r) = … = K₀ (1+r)n

(1.6)

Przez analogię do (1.3) wartość odsetek można wyznaczyć odejmując we wzorze (1.6) od kwoty końcowej Kn zainwestowaną na początku inwestycji kwotę początkową K₀, czyli:

Kn - K₀ = K₀ (1+r)n - K₀ = K₀ ((1+r)n - 1) = K₀ (rn+ n rn-1 + ½ n (n-1) rn-2+…+ ½ n (n-1) r²+ nr)

(1.7)

K₀ – początkowa kwota inwestycji,

Kn – kwota uzyskana po n-tym okresie inwestycji,

r – oprocentowanie obowiązujące w trakcie trwania inwestycji,

n – liczba okresów inwestycji, oraz współczynniki przy stopie procentowej r pochodzą z dwumianu Newtona1

„Procesem odwrotnym (w pewnym sensie) do kapitalizacji jest dyskontowanie. Dyskontowanie oznacza przeliczenie wartości kwoty na dziś, znając albo zakładając wartość, jaką kwota ta osiągnie w przyszłości.”

Przedstawiony wcześniej sposób dopisywania odsetek do kapitału początkowego nazywamy kapitalizacją odsetek. Uogólniając powyższe stwierdzenie, kapitalizacja oznacza, że dochody uzyskiwane w trakcie trwania inwestycji z zainwestowanego kapitału są dodawane do kapitału początkowego. Procesem odwrotnym (w pewnym sensie) do kapitalizacji jest dyskontowanie. Dyskontowanie oznacza przeliczenie wartości kwoty na dziś, znając albo zakładając wartość, jaką kwota ta osiągnie w przyszłości.

Jak wspomniano wcześniej wartość gotówki, którą posiadamy dziś w kwocie K i którą posiadaliśmy dwa lata temu bądź posiadać będziemy np. za rok w identycznej kwocie K bardzo często nie posiada już tej samej wartości. Podobnie rzecz ma się z ogólnie pojętym kapitałem, który może dotyczyć nie tylko pieniędzy zgromadzonych na rachunku bankowym, ale również pieniądza zamrożonego np. na rachunku papierów wartościowych bądź w nieruchomości (mieszkanie, dom jednorodzinny, działka,…). Powstaje wówczas problem porównania wartości tego samego kapitału, lecz „posiadanego” (również hipotetycznie) w różnych okresach. W związku z tym, aby możliwe było porównywanie wartości kapitałów z różnych okresów ustala się jeden wspólny moment w czasie i przelicza wartości kapitału z różnych okresów na ten wspólny moment. Pomocne w tym celu okazują się być stosowane w matematyce finansowej pojęcia: wartość obecna (ang. present value; w skrócie: PV) oraz wartość przyszła (ang. future value; FV), które – w zależności od kontekstu – dotyczą m.in. takich wielkości jak pieniądz, kapitał, inwestycja… Wartość obecna pozwala na przeliczenie wartości dobra z przyszłości na dziś (dyskontowanie). Wartość przyszła natomiast pozwala przeliczyć wartość dobra znanego dziś na ustalony moment w przyszłości np. za 2 lata (oprocentowanie). Pojęcie wartości obecnej można zilustrować następującym przykładem: jeśli na początku kwartału wiemy, że po jego upływie uzyskamy 100 PLN i znając np. prognozowaną inflację w tym kwartale, to chcielibyśmy wiedzieć, ile warta jest ta kwota dziś. Analogicznie: dysponując dziś kwotą 100 PLN i znając prognozowany poziom inflacji bądź poziom innego czynnika wpływającego na zmianę wartości pieniądza w ciągu najbliższego kwartału chcielibyśmy wiedzieć, jaką realną wartość 100 PLN będzie miało po jego upływie.

„Wartość obecna pozwala na przeliczenie wartości dobra z przyszłości na dziś (dyskontowanie). Wartość przyszła natomiast pozwala przeliczyć wartość dobra znanego dziś na ustalony moment w przyszłości np. za 2 lata (oprocentowanie).”

Podwajanie kapitału

Czasami nasuwa się pytanie: po jakim czasie gotówka „pożyczona” (bankowi bądź innej instytucji finansowej np. w postaci lokaty) podwoi się? Łatwo domyśleć się, że odpowiedź uzależniona jest od stopy procentowej obowiązującej w okresie, na jaki kwota została pożyczona. Jeśli stopa procentowa wynosi 0, to jasne, że nigdy wymarzonej dodatkowej kwoty nie otrzymamy. Natomiast w przypadku dostatecznie wysokiego oprocentowania taką kwotę możemy otrzymać w stosunkowo krótkim czasie (np. po upływie kilku dni). Zatem intuicja podpowiada, że im niższa stopa procentowa, tym okres oczekiwania na podwojenie kapitału będzie dłuższy. Jak to policzyć? Wróćmy do oprocentowania prostego (wzór 1.3) oraz oprocentowania składanego (wzór 1.6) i przekształćmy je do takiej postaci, aby stosunek kapitału Kn oczekiwanego w przyszłości do kapitału początkowego K₀ był równy 2. W przypadku oprocentowania prostego otrzymujemy:

stąd

(1.8)

Zatem liczba okresów w przypadku oprocentowania prostego, po których kapitał podwoi się ze stałą stopą procentową r wyniesie n = 1/r. Rzeczywiście: jeśli zainwestowana kwota K₀ = 100 PLN przy stałej stopie procentowej r=10% w okresie bazowym i oprocentowaniu prostym, to kwotę końcową w wysokości 200 PLN uzyskamy po 10 okresach. Powyższą zależność możemy uogólnić na dowolną wielokrotność k kwoty początkowej K₀, czyli n = k–1/r.

W przypadku oprocentowania składanego sprawy się nieco komplikują: po odpowiednim przekształceniu wzoru (1.6) i przyjęciu, że Kn/K₀ = 2 obydwie strony należy zlogarytmować2.

Wówczas:

ln(2) = ln(1+r)n

skąd

(1.9)

Inwestując kwotę K0 = 100 PLN ze stałym oprocentowaniem r=10%, ale składanym po każdym okresie bazowym kwotę 200 PLN otrzymamy po okresów, czyli zgodnie z przewidywaniami szybciej, niż w przypadku oprocentowania prostego. Uogólniając (1.9) na dowolną liczbę k wielokrotności kapitału K₀ uzyskujemy: .

Do tej pory posługiwaliśmy się nominalną stopą procentową przyjmując, że obowiązuje ona w okresie bazowym oprocentowania i nie zmienia się w trakcie trwania inwestycji. W przypadku lokat bankowych (ale nie tylko) bardzo często bank podaje informację o nominalnej rocznej stopie procentowej, ale z możliwością kapitalizowania odsetek np. co kwartał lub co pół roku. Jeśli naliczanie odsetek ma miejsce częściej, niż raz na koniec okresu bazowego, to mówimy wówczas o kapitalizacji niezgodnej, która odbywa się w okresach tzw. konwersji. W sytuacji, kiedy okres konwersji oraz bazowy nie pokrywają się, wygodniej jest posługiwać się efektywną stopą procentową (oznaczaną jako ref). Efektywna stopa procentowa różni się od stopy nominalnej tym, że uwzględnia naliczane odsetki w okresach konwersji i na koniec okresu bazowego zastosowanego do K₀ podaje faktyczną kwotę, czyli powiększoną o odsetki doliczane po kolejnych okresach konwersji. Jeśli okres konwersji oraz okres bazowy pokrywają się, wówczas stopa nominalna oraz efektywna są identyczne. W przypadku, kiedy odsetki naliczane są m-krotnie wewnątrz okresu bazowego (okres bazowy jest m-krotnością okresu konwersji) wprowadza się dodatkowe oznaczenie na nominalną stopę procentową r(m), która podlega konwersji wewnątrz okresu bazowego. Formalnie efektywną stopę procentową wyznaczamy z zależności między nominalną (r) i równoważną jej efektywną (ref) stopą procentową w tym samym okresie bazowym, korzystając z (1.6). Przyjmując, że w trakcie 1/m okresu bazowego K₀ wzrośnie o K₀ r(m)/m, to po jednym okresie K₁ wyniesie

natomiast po n okresach:

(1.10)

gdzie

K₀ – początkowa kwota inwestycji,

Kn – kwota uzyskana po n-tym okresie inwestycji,

r(m) – oprocentowanie obowiązujące w jednym okresie bazowym,

n – liczba okresów inwestycji,

m – liczba podokresów w okresie bazowym (np. liczba miesięcy, kwartałów, półroczy,…, w jednym roku utożsamionym z okresem bazowym).

 „Efektywna stopa procentowa różni się od stopy nominalnej tym, że uwzględnia naliczane odsetki w okresach konwersji i na koniec okresu bazowego zastosowanego do K₀  podaje faktyczną kwotę, czyli powiększoną o odsetki doliczane po kolejnych okresach konwersji.”

Zatem równoważność kapitałów po upływie jednego okresu bazowego w przypadku zastosowania stopy nominalnej r oraz stopy nominalnej r(m) m-krotnie konwertowanej pozwala na wyznaczenie efektywnej stopy procentowej ref:

skąd

(1.11)

gdzie

r(m)/m – oprocentowanie obowiązujące w m-tej części okresu bazowego,

m – liczba podokresów w okresie bazowym (np. liczba miesięcy, kwartałów, półroczy,…, w jednym roku, jeśli rok utożsamiono z okresem bazowym).

Przykład

Bank oferuje lokatę na rok w trzech wariantach:

a) oprocentowanie w okresie bazowym wynosi 10% i odsetki naliczane są na koniec okresu bazowego (okresy: konwersji oraz bazowy pokrywają się),

b) oprocentowanie w okresie bazowym wynosi 9%, ale odsetki naliczane i kapitalizowane są co pół roku (okres bazowy jest 2-krotnością okresu konwersji),

c) oprocentowanie w okresie bazowym wynosi 8%, ale odsetki naliczane i kapitalizowane są co kwartał (okres bazowy jest 4-krotnością okresu konwersji).

Która z lokat będzie korzystniejsza dla klienta?

Rozwiązanie

Na pierwszy rzut oka nie bardzo wiadomo, która z nich jest atrakcyjniejsza. W przypadku a) sytuacja jest prosta: wkładamy 100 PLN na rok i po roku dostajemy 110 PLN. W przypadku b) oprocentowanie jest niższe, ale odsetki zarobione wewnątrz okresu bazowego są kapitalizowane co pół roku, czyli r₂ = 9% / 2 = 4,5%. Przyjmując n=2 półrocza otrzymujemy:

100 (1+rn)n = 100 (1+r/n)n = 100 (1+0,045)² ≈ 109,20 PLN.

W przypadku c) oprocentowanie jest najniższe, ale odsetki zarobione wewnątrz okresu bazowego kapitalizowane są co kwartał, czyli r₄ = 8% / 4 = 2%, skąd

100 (1+rn)n = 100 (1+0,02)⁴ ≈ 108,24 PLN.

Zatem, pomimo naliczania odsetek wewnątrz okresu bazowego i doliczania ich do kwoty początkowej lokata c) jest najmniej opłacalna w stosunku do pozostałych. Oczywiście przy założeniu jednakowych stóp procentowych sposób naliczania odsetek w lokacie c) będzie korzystniejszy w stosunku do b) i tym bardziej do a). W sytuacji, kiedy do wyboru mamy kilka propozycji z różnymi poziomami stóp procentowych i różną kapitalizacją odsetek, przydatna do porównań okazuje się być wtedy właśnie efektywna stopa procentowa. W powyższym przykładzie stopy efektywne (ref) wynoszą odpowiednio:

a) ref = 10% ,

b) ref = (1+9% / 2)² -1 = 9,2025%,

c) ref = (1+8% / 4)⁴ -1 = 8,2432%.

Zgodnie z wcześniejszą diagnozą ref wariant a) daje klientowi najwyższą wartość odsetek.

1Symbol Newtona: , gdzie n! oznacza iloczyn liczb od 1 do n: n! = n (n-1) … 2 1

Dwumian Newtona:

2Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania. Logarytm przy podstawie a z liczby b (loga b) oznacza liczbę c, będącą potęgą, do której podstawa a musi być podniesiona, aby dać liczbę b, czyli:

logab = c ⇔ ac=b.

        Zatem logarytmowanie można określić jako „zgadywanie”, do której potęgi (c) należy podnieść podstawę logarytmu (a), aby otrzymać liczbę b. Logarytmem naturalnym (ln) jest logarytm, którego podstawą jest liczba e równa w przybliżeniu 2,7183. Większość obecnych kalkulatorów jest wyposażona w funkcje logarytmowania przy dowolnej podstawie (w szczególności przy podstawie e) oraz potęgowania.