I

Dwuczęściowe odrzwia rozległej auli mieszczącej wszystkich studentów wydziału matematyki zamknęły się. Ledwie wyczuwalne drgania poruszonej futryny przemknęły po ścianach. Umiejętnie uniesiona, a później opuszczona klamka zapadła niemal bezszelestnie. Mogło nastąpić to na skutek długoletniej praktyki w zamykaniu i otwieraniu tych samych drzwi, bądź też z niechęci do zakłócania atmosfery skupienia gotowiącym się do wykładu studentom. Mężczyzna, zamknąwszy drzwi, odwrócił się ku audytorium, po czym skierował kroki ku niewielkiemu kontuarowi stojącemu tuż przed pokaźnych rozmiarów tablicą wiszącą na przeciwległej ścianie auli. Nosząca miejscami ślady przetarcia i zużycia jednobarwna gumowa wykładzina, pokrywająca każdy metr kwadratowy podłogi, miękko uginała się pod ciężarem kroków. Równomiernie i sprężyście stawiane nogi powodowały, że spod butów idącego mężczyzny wydobywał się głuchy chrzęst, doskonale słyszalny nawet w najodleglejszych zakątkach auli. Rezonował on w miarowych odstępach pośród ścian wyłożonych drewnianą boazerią, zapewniającą przestronnemu wnętrzu doskonałą akustykę. Przechodzący mężczyzna w prawej dłoni niósł skórzaną teczkę zamykaną na dwie mosiężne klamry, a ich wysokie w tonach równomierne pobrzękiwanie równoważyło niskie dźwięki pomruków wykładziny. Sprawiający wrażenie zupełnie jeszcze młodego wysoki naukowiec o krótko przystrzyżonych blond włosach, noszący okulary w wąskich oprawkach, przemierzał długą, otwartą przestrzeń wzdłuż ściany poprzetykanej wnękami okien. Nie dociekał, co skrywać mogą wysokie okiennice. Wczesnojesienny zmierzch przywarł do szyb gęstą powłoką zmroku, on natomiast kierunkiem wyznaczonym jarzeniowym oświetleniem zmierzał do zwykle zajmowanego miejsca. Jego wyprostowana sylwetka i miarowy krok przypominały defilującego żołnierza i mogły rodzić myśl, że z równie żelazną dyscypliną naukowiec ten podchodzi do wypełniania swoich obowiązków. Blask świetlnych refleksów, opadający pionowo z wmontowanych w sufit jarzeniówek, przemknął po ściśle przylegającym do ciała ciemnogranatowym garniturze w jasne prążki. Niewielką część jaskrawego światła pochłonęła błękitna koszula wraz z utrzymanym w zimnych tonacjach krawatem, po czym odbiło się ono w czerni nabłyszczonych butów. Wszystkie te elementy ubioru były doskonale skomponowane, stanowiły wręcz wzorcowe zestawienie męskiej garderoby. Pogrążeni w milczeniu studenci raz po raz rzucali ukradkowe spojrzenia w kierunku przechodzącego wykładowcy. On natomiast, nie patrząc na boki, nie chcąc zapewne rozpraszać uporządkowanych myśli obserwacją doskonale znanego sobie otoczenia, w skupieniu zmierzał ku nieodległemu już pulpitowi. Rozmyślania, jakim oddawał się w tym czasie, mogły dotyczyć treści mających stanowić temat nieodległej już prelekcji. Mężczyzna uniósł do góry trzymaną w prawej dłoni skórzaną teczkę, jednocześnie witając się ze studentami. Odpowiedzieli gromkim głosem, po czym pogrążyli się w skupieniu. Wykładowca położył teczkę na blacie stołu i wkrótce potem wydobył z niej kilka grubych skryptów.

– Jak się państwo domyślają, dzisiejszy wykład, zgodnie z zapowiedzią, poświęcony będzie zagadkowej istocie liczb – rozpoczął, jak zwykle z dyskretnym uśmiechem i pogodnym wyrazem twarzy. – Z moich wyliczeń wynika, a wydaje mi się, że w wyliczeniach nie jestem najgorszy, że będzie to nasz drugi wykład, a jako drugi musi być nieco bardziej zaawansowany w treści od pierwszego, nazwijmy, organizacyjnego. Żywię jednak nadzieję, że nie będzie zbyt zawiły, a wszystko, co powiem, zostanie zrozumiane.

Zgromadzeni licznie studenci zgodnie przytaknęli wykładowcy i posadowili się wygodniej na krzesłach, potwierdzając tym samym swoją gotowość. Mężczyzna starannie ułożył na kontuarze skrypty i rozpoczął prelekcję.

– Na początek chciałbym sięgnąć do starożytnych korzeni matki wszystkich nauk i przywołać myśl Pitagorasa. Otóż, jak zauważył on już dwa tysiące lat temu, liczby rządzą światem i do dzisiaj twierdzenia tego podważyć nie sposób. Od czasów starożytnych liczbom przypisywano mistyczne znaczenie. W niektórych językach tamtego okresu, na przykład w greckim i hebrajskim, gdy arabski system liczbowy nie został jeszcze wynaleziony, poszczególnym literom alfabetu przypisywano konkretne liczby. W tak rozumianym alfabecie, gdzie każda litera była liczbą i na odwrót, żeby zapisać czyjeś imię, należało zsumować liczby składające się na imię danego człowieka. Dla przykładu, najbardziej chyba znane imię Jezus w zapisie zgodnym z greckim alfabetem brzmiące Iesous, dawało łączną liczbę osiemset osiemdziesiąt osiem, czyli sumę liczb dziesięć, osiem, dwieście, siedemdziesiąt, czterysta, dwieście. Dla odmiany imieniu biblijnej bestii, w tradycji chrześcijańskiej identyfikowanej później z antychrystem, przyporządkowany został numer sześćset sześćdziesiąt sześć, często stosowany współcześnie jako popkulturowy symbol zła. Przy okazji pozwolę sobie także zacytować wyimek z listu Pseudo Barnaby, napisany około roku 120 naszej ery: Bóg ukończył w dniu szóstym swe dzieło. To znaczy, że w ciągu sześciu tysięcy lat Bóg ukończy wszystkie rzeczy, ponieważ dla Niego dzień jest jak tysiąc lat. Dlatego po sześciu dniach, to znaczy po sześciu tysiącach lat, wszechświatowi zostanie położony kres. Odpoczął dnia siódmego[1]. Dość dużo tych liczb, nieprawdaż? – podsumował przytoczony cytat wykładowca.

– Bardziej jeszcze zastanawia wymiar znaczeniowy owych liczb, pozwalający zamknąć w przedziałach przez nie określanych powstanie i czas trwania świata, w tym przypadku w odniesieniu biblijnym. Mamy wiec już przedsmak tego, w jaki sposób liczby, nawiązując do słów Pitagorasa, przeniknęły do świadomości zbiorowej i rządzą światem. Platon uważał, że matematyka dostarcza klucz do zrozumienia początków stworzenia, a jeden z biblijnych wersów głosi, że Bóg urządził wszystko według miary, liczby i wagi. Posunąłbym się nawet nieco dalej i zaryzykowałbym twierdzenie, że rządzą one ni mniej, ni więcej jak całym wszechświatem. Zapytają państwo, na jakiej podstawie tak twierdzę? Postaram się, na ile to będzie możliwe, tezę tę udowodnić. Jeżeli państwo pozwolą, w rozważaniach swoich ograniczę się do intrygującej natury liczb pierwszych, gdyż to im właśnie należy przypisać szczególną rolę w zarządzaniu naturą. – Mężczyzna mówił z właściwym sobie opanowaniem, z rzadka spoglądając w treść rozłożonych na kontuarze notatek. Studenci odpowiedzieli twierdząco z nieskrywaną aprobatą. – Liczby pierwsze to te, które dzielą się bez reszty przez jeden i przez same siebie w dziedzinie liczb naturalnych i stanowią fundament matematyki, ale to wszyscy wiemy, dlatego też nie zamierzam znanym nam faktom poświęcać miejsca. Pragnę zająć się przypisanymi im właściwościami, o których nie wszyscy z pewnością wiedzą. – Gesty mężczyzny prowadzącego wykład zdradzały doskonałą koordynację, nie wykonywał bowiem żadnego zbędnego ruchu. Powściągliwość w ekspresji, ograniczony do minimum język ciała podyktowane były najpewniej przyzwyczajeniami ścisłego, zdyscyplinowanego umysłu. Umysłu ukierunkowanego na precyzyjne wyrażanie myśli, nie zaś na umowną i ogólnikową mowę ciała, na chaotyczną gestykulację. Zarówno mimika twarzy, jak i sposób wypowiadania zdradzały wysoką kulturę umysłową, jak również nienaganną etykietę.

– Otóż problem liczb pierwszych – kontynuował – pozorna nieprzewidywalność ich występowania, a zatem nieregularność, jak się domyślacie, intrygowała już starożytnych. Jak zaznaczyłem, pozorna, gdyż niejaki Leonhard Euler, w połowie XVIII wieku, wiedziony przeczuciem, że liczby pierwsze mają związek z otaczającym nas światem, stworzył równanie pozwalające na wyliczenie, w nieznacznym przybliżeniu, ilości liczb pierwszych znajdujących się w konkretnych przedziałach liczb naturalnych, efektem którego był wzór stałej opisującej koło. W liczniku umieścił Pi do kwadratu, w mianowniku zaś liczbę sześć. – Wykładowca odwrócił się w stronę tablicy i przystąpił do rozpisywania wzoru, a będąc już zwróconym twarzą do audytorium, kontynuował: – Wyliczenia Eulera jednoznacznie wykazały, że nieodgadnionym zrządzeniem losu szereg liczb, którymi rządzi chaos, wiąże się ze stałą opisującą najdoskonalszą figurę – koło, najpiękniejszy i najczęściej spotykany we wszechświecie kształt. Niemal natychmiast ówczesny świat naukowy, zarówno astronomowie, fizycy, jak i astrolodzy odnieśli kształt ten do wizerunku słońc, gwiazd i planet, a zatem klucza do organizacji wszechświata. Euler swoimi wyliczeniami udowodnił jako pierwszy, że liczby pierwsze nie są przypadkowe, mają związek z prawami fizyki i mogą tworzyć strukturę przyrody. Teoria ta, konkurencyjna wobec oficjalnie dominującej wówczas teorii powstania, wzbudziła w środowiskach teologicznych poważne obawy. „Bóg w stworzeniu wszechświata nie mógł przecież posługiwać się matematycznymi wzorami” – rozbrzmiały gromkie sądy. Odtąd wpływowe kręgi decydentów, instytucje wyrokujące o tym, co przeniknąć może do świadomości społecznej, starały się owo zagadkowe odkrycie jak najgłębiej ukryć przed badawczym wzrokiem naukowców. Euler nie poprzestawał w wysiłkach wyliczania kolejnych liczb pierwszych, każdą nowo wskazaną liczbę traktował jako schodek ku górze, mający zaprowadzić go, w metaforycznym znaczeniu, ku kosmicznym pułapkom, by mógł oko w oko stanąć z kształtem doskonałych kół, określonym przez liczby pierwsze, a wyrażonym bryłami planet. – Wykładowca odwrócił się, by na tablicy narysować krótkimi pociągnięciami kredy schematyczne schody o kilkunastu stopniach, na każdym z nich umieszczając kolejną liczbę pierwszą. – Do zarzuconego problemu liczb pierwszych i związków, jakie pomiędzy nimi zachodzą, powrócił w połowie XIX wieku Bernhard Riemann. Naukowiec ten wyznaczył cztery miejsca zerowe liczb pierwszych, czyli punkty, gdzie oś pionowa osiąga wartość zero, i okazało się, że wszystkie one leżą na linii prostej. Po raz drugi udowodniono, że z pozoru chaotyczne rozmieszczenie liczb pierwszych tworzy doskonałą harmonię, zatem już nie tylko mamy do czynienia z idealnym kołem, lecz również liniami prostymi. Riemann poszedł znacznie dalej w swych twierdzeniach i wysnuł hipotezę, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe liczb pierwszych również leżą na linii prostej. Hipoteza opierająca się na przeświadczeniu, że chaos liczb pierwszych jest pozorny i skrywa on głęboki sens, do historii matematyki przeszła jako hipoteza Riemanna. To zdanie mogą państwo podkreślić na czerwono.

Wiek dwudziesty przyniósł lawinową reakcję matematyków chcących udowodnić prawdziwość tezy porządkującej liczby pierwsze i potwierdzić prawidłowość rządzącą ich rozkładem, w ten sposób rozwiązać, jak już wówczas przypuszczano, zagadkę natury wszechświata. Zarówno uznani, jak i doskonale zapowiadający się naukowcy, pewni swoich umiejętności, podejmowali się tego wyzwania, lecz już wkrótce miało się okazać, że złożoność problemu jest daleko większa, niż mogłoby się im wydawać. Wielu z nich zdążyło się zestarzeć, nim zrozumieli, że nie zdołają poczynić znaczących odkryć, ani tym bardziej dokonać przełomu w stanie badań. Jednym ze śmiałków był genialny matematyk John Nash, uznawany za najwybitniejszego matematyka swoich czasów, szerszemu ogółowi znany z doskonałego filmu Piękny umysł. Sądząc po wybranym kierunku studiów, chyba wszyscy z państwa go widzieli? – Studenci odpowiedzieli twierdząco. – Do historii matematyki przeszedł jego wykład na Columbia University z marca 1959 roku, podczas którego przedstawić miał od dawna poszukiwany dowód na potwierdzenie hipotezy Riemanna. Jego prelekcja niestety najpierw przybrała postać kompromitacji, na skutek wywodów pozbawionych logicznego sensu, by w kolejnej fazie stać się dowodem na rozwijającą się schizofrenię jej autora. Na oczach amerykańskiej elity naukowej John Nash przegrał batalię ze swoim genialnym umysłem owładniętym obsesją liczb pierwszych, a przede wszystkim z samymi liczbami. Od czasu feralnego wykładu zaczęto mówić o przekleństwie liczb pierwszych, o tragicznym losie każdego, kto zmierzyłby się z prawidłami rządzącymi ich porządkiem, o gniewie bożym spowodowanym ingerencją w wyższy porządek zjawisk. Jednakowoż w mojej opinii zachowania tego typu należy umieścić w sferze przesądów, towarzyszących zdarzeniom wzbudzającym powszechne niedowierzanie lub zbiorową halucynację. Niepodważalnym faktem pozostają przestrogi udzielane przez obytych z tym problemem i bardziej doświadczonych naukowców młodszym kolegom – stawiającym pierwsze, naukowe kroki na gruncie nauki – przed angażowaniem się w rozwiązanie tego problemu. Wbrew tym ostrzeżeniom całe zastępy obiecujących matematyków, na wstępie doskonale zapowiadającej się kariery, zmagało się z kodem liczb pierwszych, by po latach poświęceń pozostać z białą plamą w wykazie naukowych dokonań.

Wkrótce potem polski matematyk Stanisław Ulam, uczestnik amerykańskiego projektu Manhattan, siedząc podczas nudnego wykładu, nie mając czym zająć rąk, zaczął wypisywać w spiralnym, kwadratowym układzie następujące po sobie liczby naturalne. – W tym momencie mężczyzna odwrócił się twarzą do tablicy i rozpoczął szkicowanie kwadratowej spirali. Cyfrę jeden umieścił po środku, następnie zapisywał kolejne liczby naturalne, zachowując kształt rozrastającego się kwadratu. W momencie gdy rysunek przybrał już pożądany rozmiar, matematyk przyjął poprzednią postawę. – Znudzony wykładem Ulam – ciągnął dalej swoją myśl – dokonał, najzupełniej nieświadomie, niezwykle interesującego, niewyjaśnionego do dzisiaj odkrycia. Zauważył, że liczby pierwsze: trzy, pięć, siedem, jedenaście, trzynaście, siedemnaście, i tak dalej, na wykresie tym, tworzą linie proste, krzyżujące się pod najrozmaitszymi kątami i przebiegające w różnorodnych kierunkach. Miejsca zbiegu jednych z nich tworzyły kąty proste, innych jeszcze, rozwarte, kolejnych, w miarę rozrastania się kwadratowej spirali, tak różnorodną kombinację kątów, że niemożliwym stawało się wyodrębnienie poszczególnych z nich. Na większej powierzchni tworzyły bardziej wyrazistą sieć powiązań, krzyżując i przenikając się nawzajem. Zaintrygowany tym odkryciem polski naukowiec stworzył precyzyjny model spirali, która przeszła do historii matematyki jako spirala Ulama. Jak państwo uważają, czyż mógłby to być przypadek, by z pozoru chaotyczne liczby tworzyć mogły tak logicznie zorganizowaną siatkę wzajemnych relacji? – mówiąc to, odwrócił się i na kwadratowej sprali długimi pociągnięciami kredy zaznaczył ujawniające się linie proste. – Patrząc na spiralę Ulama, gdyby oczywiście była większa, można by bez trudu odnieść ją do mapy rozgwieżdżonego nieba, a przy odrobinie wyobraźni dostrzec znane konstelacje gwiezdne, w tym znaki Zodiaku, Andromedę, Kasjopeę, Centaura, Oriona, Koronę Północy, Koronę Południa i zapewne wiele innych.

Odwróciwszy się do audytorium, wykładowca kontynuował:

– Kolejnym przełomem w badaniach nad liczbami pierwszymi było sensacyjne spostrzeżenie dokonane w podobnie przypadkowy sposób. Otóż na Uniwersytecie Princeton podczas konferencji naukowej któregoś marcowego dnia 1972 roku ogłoszono przerwę, z której to z całą pewnością skorzystali dwaj naukowcy, pewien matematyk i pewien fizyk. Ściślej mówiąc, podczas popijania zamówionej w barze herbaty, doszło pomiędzy nimi do luźnej pogawędki. Fizyk zgłębiający prawidła rządzące światem subatomowym i matematyk usiłujący złamać kod liczb pierwszych, wymienili spostrzeżenia i porównali wyniki swoich badań. Jakże wielkie było ich zdziwienie, gdy odkryli, że rozkład miejsc zerowych na linii prostej liczb pierwszych jest niemal identyczny z sumą rozkładów poziomów energetycznych jąder atomowych pierwiastków ciężkich, czyli takich jak uran czy pluton. Matematyk ustalał prawa rządzące naturą liczb pierwszych, fizyk zgłębiał budowę atomu – w jednej minucie okazało się, że rozkład prawdopodobieństwa w jakże odległych od siebie dziedzinach okazał się, rzec by można bez większego ryzyka, identyczny. Zaskakujące, nieprawdaż? Musicie przyznać, że zaczyna robić się ciekawie. Liczby tworzące kształty ciał niebieskich i atomy, podstawowa cegiełka ich budowy. Wydawać by się mogło, że jesteśmy o krok od zdefiniowania istoty wszechświata wyrażonej jednym wzorem. Do wyprowadzenia go pozostała nam jednak daleka droga, niemniej ich przypadkowe spotkanie nadało nowy bieg zaniechanym badaniom nad złamaniem kodu liczb pierwszych. Rzuciło to nowe światło na teorię Riemanna, spowodowało zbliżenie się obu środowisk i nadało ton wzajemnej i nierozerwalnej współpracy oraz ustanowiło chlubne odniesienie do istoty wszechświata łączącej w nierozerwalny sposób w swojej strukturze porządek liczb pierwszych i cząstek elementarnych.

Od czasu, gdy John Nash zapadł na schizofrenię, badania nad złamaniem kodu liczb pierwszych stały się naukowym tabu; nikt, kto zajmował się tym problemem, nie zdobywał się na publiczne wystąpienia, zatajano nawet wyniki prac. W matematycznych kuluarach coraz częściej pojawiały się szepty, jakoby Stwórca liczbami pierwszymi zapisał kod praw fizyki rządzący wszechświatem. W tak zwanym międzyczasie liczby pierwsze i nieodgadnione prawa nimi rządzące posłużyły do zagwarantowania bezpieczeństwa wymiany informacji w internecie, do czuwania nad bezpieczeństwem transakcji płatniczych, w tym bankowych. Nad bezpieczeństwem tym czuwają liczby pierwsze złożone ze stu pięćdziesięciu milionów cyfr, z takimi wielkościami nie potrafią uporać się nawet najnowocześniejsze komputery o największej mocy przeliczeniowej. Zastosowanie liczb pierwszych w kryptografii nabrało szczególnego znaczenia za sprawą trzech amerykańskich profesorów. Stworzony przez nich system szyfrowania danych, określony skrótem od ich nazwiska RSA, zabezpiecza posługiwanie się każdym typem karty płatniczej oraz każdy rodzaj zakupu w sieci. System ten stał się niezbędny przy wszystkich typach zabezpieczeń tajemnic państwowych i wojskowych. Banki przy wszelkiego typu transakcjach korzystają z tych kodów, umożliwiają one wielkim korporacjom transmisję danych w sposób bezpieczny, a ludziom takim jak my ochronę prywatności podczas wymiany maili, czy choćby podczas rozmów telefonicznych. O doniosłości problemu niech świadczy fakt, że rząd Stanów Zjednoczonych uznał opublikowanie szyfru i technik jego łamania za naruszenie ustawy o kontroli nad bronią. Ażeby zachować bezpieczeństwo danych, niezbędne staje się znajdowanie wciąż większych i większych liczb pierwszych. Im większa jest liczba pierwsza, tym trudniej jest złamać klucz szyfrujący, a tym samym wzrasta skuteczność systemów ochrony danych. Za odnalezienie kolejnej liczby pierwszej wyznaczono nawet nagrodę. Przed kilkoma laty znaleziono liczbę posiadającą w zapisie dziesiętnym około trzynastu milionów cyfr. Dokonanie to przyniosło odkrywcy nie tylko prestiż w świecie naukowym, lecz także sto tysięcy dolarów nagrody. Każdy może wziąć udział w rozpisanym konkursie, również przed państwem otwiera się możliwość zgarnięcia pełnej puli. Warto chyba spróbować? – Wśród audytorium rozległy się żartobliwe poszepty. – Wystarczy tylko, bagatela, poświęcić kilka do kilkunastu lat pracy. Nagrodę tę zaoferowała amerykańska fundacja zajmująca się zapewnianiem prywatności i anonimowości w przestrzeni informatycznej. Wszystko to sprawia, że liczby te znajdują szczególne zastosowanie i stają się tak niezwykle cenne.

W auli dał się słyszeć poszum rozmów i zgrzyt suwanych krzeseł, zdradzający oznaki narastającego wśród studentów zniecierpliwienia.

– Niecierpliwią się państwo? Rozumiem, to dopiero drugi wykład – przerwał wykładowca – a nawyki wyniesione ze szkoły średniej trudno odnieść do trybu akademickiego. Pragnę państwa zapewnić, że biorę poprawkę i na tę rozbieżność, wkrótce też zamierzam zakończyć swój wykład, tym razem jeszcze ograniczony do niezbędnego minimum.

Dalsza część książki dostępna w wersji pełnej

[1] Fragment Listu Barnaby, tłum. Anna Świderkówna.

Matematyczny wzór na istnienie Boga

Wydanie pierwsze

ISBN: 978-83-8147-822-9

© Maciej Bienias i Wydawnictwo Novae Res 2020

Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie, reprodukcja lub odczyt

jakiegokolwiek fragmentu tej książki w środkach masowego przekazu

wymaga pisemnej zgody wydawnictwa Novae Res.

Redakcja: Dominik Leszczyński

Korekta: Zuzanna Hejniak

Okładka: Artur Rostocki

Wydawnictwo Novae Res

ul. Świętojańska 9/4, 81-368 Gdynia

tel.: 58 716 78 59, e-mail: sekretariat@novaeres.pl

http://novaeres.pl

Publikacja dostępna jest w księgarni internetowej zaczytani.pl.

Na zlecenie Woblink

woblink.com

plik przygotowała Katarzyna Rek